【水理学基礎講座⑤-2】逐次計算法による水深の求め方

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前回の「【水理学基礎講座⑤-1】不等流計算とは」では、不等流では水深や流速が流下方向に変化するため、隣り合う断面のエネルギーの関係から水深を順番に求めていくことを説明しました。

今回は、一次元不等流計算で広く用いられている逐次計算法について、実際にどのように水深を求めていくのかを説明します。

逐次計算法とは

逐次計算法とは、水路を適当な計算区間に分割し、既知の断面から順次次の断面の水深を仮定して、ベルヌーイの定理によるエネルギーの照合を行いながら水深を求めていく方法です。

常流の場合は、下流側の水深を境界条件として、下流から上流に向かって計算します。

ここでは、「土地改良事業計画設計基準・設計『水路工』」に合わせて、下流側を断面1、その一つ上流側を断面2として説明します。

流れの方向は、

断面2 → 断面1

です。

断面1の水深は既知であり、この既知の水深を使って、上流側にある断面2の水深を求めていきます。

開水路の水頭縦断図

断面1と断面2のエネルギーの関係

断面1と断面2の間にベルヌーイの定理を適用すると、次の式になります。

z2+h2+αV222g=z1+h1+αV122g+hfz_2+h_2+\alpha\frac{V_2^2}{2g}=z_1+h_1+\alpha\frac{V_1^2}{2g}+h_f

ここで、

  • z：基準面から水路底までの高さ
  • h：水深
  • V：平均流速
  • g：重力加速度
  • α：エネルギー補正係数
  • 摩擦損失水頭：断面1と断面2の間で生じる水頭損失

です。

添字の1は断面1、添字の2は断面2を表します。

この式を言葉で表すと、

断面2の全エネルギー線の高さ
＝ 断面1の全エネルギー線の高さ ＋ 断面間の水頭損失

となります。

つまり、下流側である断面1の全エネルギー線の高さに、断面1から断面2までの水頭損失を加えた高さと一致するように、断面2の水深を求めればよいことになります。

これが逐次計算法の基本的な考え方です。

なぜ断面2の水深を仮定するのか

断面1では水深を既知として設定します。そのため、通水断面積や流速、径深などを求めることができます。

断面1の水位は決める必要があります。計算では出発水位と呼ばれますが、河口では「河口の潮位」や流量と水深の関係式が明らかになっている「H～Q曲線水位」がある場合や限界流が生じている「落差工の水深」などが出発水位として水深を設定します。（平成9年度河川砂防技術基準[調査編]を加筆修正）

これにより、断面1の全エネルギー線の高さも計算できます。

一方、断面2では水深がまだ分かっていません。

水深が分からなければ、

  • 通水断面積
  • 流速
  • 速度水頭
  • 潤辺
  • 径深
  • 摩擦勾配

も決まりません。

さらに、断面1と断面2の間の摩擦損失水頭を求めるためには、断面2の流速や径深も必要になります。

そこで、まず断面2の水深を仮定します。

仮定した水深から必要な値を計算し、ベルヌーイの式を満足するか確認します。

満足しなければ水深を変えて、もう一度計算します。

断面1の全エネルギー線の高さを求める

まず、既知である断面1について計算します。

流速は、流量を通水断面積で割って求めます。

V1=QA1V_1=\frac{Q}{A_1}

断面1の全エネルギー線の高さは、

H1=z1+h1+αV122gH_1=z_1+h_1+\alpha\frac{V_1^2}{2g}

となります。

断面1では水深が既知なので、この値はそのまま求めることができます。

断面2の水深を仮定する

次に、上流側である断面2の水深を仮定します。

例えば矩形水路で、水路幅を B とすると、通水断面積は、

A2=Bh2A_2=Bh_2

となります。

流速は、

V2=QA2V_2=\frac{Q}{A_2}

です。

また、通水断面積と潤辺から径深を求めます。

R2=A2P2R_2=\frac{A_2}{P_2}

これによって、仮定した水深に対する断面2の全エネルギー線の高さを求めることができます。

H2=z2+h2+αV222gH_2=z_2+h_2+\alpha\frac{V_2^2}{2g}

断面1～断面2間の摩擦損失水頭を求める

次に、断面1と断面2の間で生じる摩擦損失水頭を求めます。

マニング式から摩擦勾配を求めると、

I=n2V2R4/3I=\frac{n^2V^2}{R^{4/3}}

となります。（詳しくは【水理学コラム】実は「摩擦損失 hf の正体」こそがマニングの公式だった！？ – 土木系情報サイト

したがって、断面1の摩擦勾配は、

I1=n12V12R14/3I_1=\frac{n_1^2V_1^2}{R_1^{4/3}}

断面2の摩擦勾配は、

I2=n22V22R24/3I_2=\frac{n_2^2V_2^2}{R_2^{4/3}}

となります。

「水路工」では、断面1と断面2の摩擦勾配の平均値を用いて、両断面間の摩擦損失水頭を求めています。

断面1と断面2の間の斜距離を L とすると、

hf=L2(n12V12R14/3+n22V22R24/3)h_f=\frac{L}{2}\left(\frac{n_1^2V_1^2}{R_1^{4/3}}+\frac{n_2^2V_2^2}{R_2^{4/3}}\right)

となります。

つまり、断面1だけの摩擦勾配を使うのではなく、断面1と断面2の摩擦勾配を平均して、その区間の摩擦損失を求めます。

二つの全エネルギー線の高さを比較する

ここまでの計算で、

  • 断面1の全エネルギー線の高さ
  • 断面1～断面2間の水頭損失
  • 仮定した水深による断面2の全エネルギー線の高さ

が求まりました。

ベルヌーイの式が成り立つためには、

H2=H1+hfH_2=H_1+h_f

となる必要があります。

したがって、

断面2の全エネルギー線の高さ

と、

断面1の全エネルギー線の高さ＋水頭損失

を比較します。

両者の差を誤差とすると、

ε=H2−(H1+hf)\varepsilon=H_2-(H_1+h_f)

となります。

この誤差が0であれば、仮定した断面2の水深でベルヌーイの式を満足しています。

しかし、最初から0になることはほとんどありません。

そこで、断面2の水深を変更して再計算し、

ε→0\varepsilon\rightarrow0

となる水深を探します。

これが「水深を仮定して繰り返し計算する」という逐次計算法の中身です。

逐次計算法の計算手順

常流の場合の計算手順を整理すると、次のようになります。

詳細な説明は以下です。

  1. 下流側の断面1の水深を既知とする
  2. 断面1の全エネルギー線の高さを求める
  3. 上流側の断面2の水深を仮定する
  4. 仮定した水深から通水断面積、流速、潤辺、径深を求める
  5. 断面1と断面2の摩擦勾配を求める
  6. 両断面の平均摩擦勾配から区間の摩擦損失水頭を求める
  7. 仮定した水深から断面2の全エネルギー線の高さを求める
  8. 断面2の全エネルギー線の高さと、断面1の全エネルギー線の高さ＋水頭損失を比較する
  9. 誤差が許容範囲に入らなければ断面2の水深を変更して再計算する
  10. 誤差が許容範囲に入れば、その水深を断面2の水深として採用する
  11. 求めた断面2を次の計算の断面1として、さらに上流へ計算する

まとめ

逐次計算法では、常流の場合、下流側の既知水深から上流側の水深を順番に求めていきます。

基本となる関係は、

z2+h2+αV222g=z1+h1+αV122g+hfz_2+h_2+\alpha\frac{V_2^2}{2g}=z_1+h_1+\alpha\frac{V_1^2}{2g}+h_f

です。

つまり、

上流側である断面2の全エネルギー線の高さ

と、

下流側である断面1の全エネルギー線の高さ＋断面間の水頭損失

が一致するように、断面2の水深を求めます。

断面2の水深を仮定して計算し、両者の差が0に近づくように水深を修正します。

そして、求めた水深を次の断面へ引き継ぎながら計算を繰り返すことで、水路全体の水面形を求めることができます。

参考資料

農林水産省「土地改良事業計画設計基準[水路工]」

河川砂防技術基準[調査編]

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