許容応力度法について解説

中立軸位置xは中立軸係数kを乗じて算出する。そのためkの導出が主となる。

条件１より

ひずみと中立軸の位置関係を表すと

\[ \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_s} = \frac{x}{d – x} \]

ひずみε_c，ε_sはE_c，E_sおよびσ_c，σ_sで表す。

\[ \varepsilon_c = \frac{\sigma_c}{E_c}, \quad \varepsilon_s = \frac{\sigma_s}{E_s} \]

これより、中立軸の位置関係をσ_s，σ_cとE_s，E_cで表せる。

\[ \frac{\frac{\sigma_c}{E_c}}{\frac{\sigma_s}{E_s}} = \frac{E_s}{E_c} \frac{\sigma_c}{\sigma_s} = \frac{x}{d – x} \]

Es / Ec = nとしてまとめ、x = k d なので

\[ n \frac{\sigma_c}{\sigma_s} = \frac{k d}{d – k d}, \quad \frac{\sigma_c}{\sigma_s} = \frac{k}{n(1 – k)}, \quad k = \frac{n \sigma_c}{n \sigma_c + \sigma_s} \quad \text{・・・（1）} \]

条件２より

\[ C = \frac{1}{2} \sigma_c k b d, \quad T = \sigma_s A_s = \sigma_s p b d \]

コンクリート断面形状(b,d)と鉄筋量(As)はP(引張鉄筋比P＝ \(\frac{A_s}{b d}\) )に置き換える。

力のつり合い条件ΣH＝0なので

\[ C – T = 0 \]

\[ \frac{1}{2} \sigma_c k b d – \sigma_s p b d = 0 \quad \text{・・・（2）} \]

(1)と(2)よりσ_cとσ_sも消えて、kはnとpのみで表すことができる。

\[ k^2 + 2 n p k – 2 n p = 0 \]

\[ k = \sqrt{2 n p + (n p)^2} – n p \]

最後に中立軸の位置xは

\[ x = k d \]

外力によって生じる曲げモーメントより、コンクリートに生じる縁端の応力度σ_cと鉄筋の応力度σ_sを求める。

外力によって生じる曲げモーメントは断面に作用し以下の関係となる。

\[ M = C \cdot z = T \cdot z \]

また、レバーアームの長さを求めるための係数jを求める。

圧縮側の合力の作用位置は、圧縮側縁端から

\[ \frac{x}{3} = \frac{k \, d}{3} \]

であるから、

\[ z = j \, d = d – \frac{x}{3} = d – \frac{k d}{3} = \left( 1 – \frac{k}{3} \right) d \]

よって、

\[ j = 1 – \frac{k}{3} \]

したがって、

\[ M = C z = \frac{1}{2} \sigma_c b x \left(d – \frac{x}{3}\right) = \frac{1}{2} \sigma_c k j b d^2 \quad \text{・・・(1)} \]

\[ M = T z = \sigma_s A_s \left(d – \frac{x}{3}\right) = \sigma_s p j b d^2 \quad \text{・・・(2)} \]

(1)からσ_c、(2)からσ_sを求める。

\[ \sigma_c = \frac{2 M}{k j b d^2}, \quad \sigma_s = \frac{M}{p j b d^2} \]

許容応力度法による照査

許容応力度法では上記より求めた応力度σ_c，σ_sが許容応力度σ_ca，σ_saを超えないことを確認することで安全な構造を満足するものと考える。

\[ \sigma_c \lt \sigma_{ca}, \quad \sigma_s \lt \sigma_{sa} \]